logo search
Untitled2

§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, напримерz. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными:f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскостиXOY. Любой точке этой кривой (x*,y*) , будет соответствовать некоторое

значение z*, при котором точка (x*,y*,z*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная осиOZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскостиXOYпересекает кривуюf(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющейf(x,y) = 0 в плоскостиXOYи образующей параллельной осиOZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнениепроекции линии пересечения этих поверхностейна координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностейина

плоскость YOZ. {Исключимх:гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, чтоверхняя ветвь,}