Elem_matematika_okonch_variant_2012_pravka

Свойства числовых неравенств.

О.Числобольшечисла, если разность– положительное число; числоменьшечисла, если разность – отрицательное число.

Теорема 1.

Если , то; если, то.

Доказательство.

Если , то по определению разность– положительное число, тогда разность- отрицательное число, а это значит, по определению, что .И наоборот.

Теорема 2.

Если и, то.

Доказательство.

По условию и , значит, по определению разность– отрицательное число и разность – отрицательное число. Сумма отрицательных чисел – число отрицательное, поэтому сумма– отрицательна. Преобразуем эту сумму. Следовательно, разность– отрицательна и, по определению,.

Теорема 3.

Если и– любое число, то.

Доказательство.

Преобразуем разность .По условию, , поэтому– отрицательное число. Значит, и разность - отрицательна. Следовательно,.

Теорема 4.

Если и– положительное число, то,

Если и– отрицательное число, то,

Доказательство.

Преобразуем разность . Так как,то разность– отрицательное число. Если ,то произведение – отрицательно, и, следовательно,. Если ,то произведение – положительно, и, следовательно,.

Следствие.

Если и – положительные числа и , то.

Доказательство.

Разделим обе части неравенства на положительное число:.

Сократив дробь, получим, что , т.е..

Теорема 5.

Если и, то

Доказательство.

Прибавим к обеим частям неравенства число ,получим .

Прибавим к обеим частям неравенства число , получим .

Из неравенств и ,и теоремы 2 следует, что

Теорема 6.

Если и, где– положительные числа, то.

Доказательство.

Умножим обе части неравенства на положительное число , получим неравенство .

Умножим обе части неравенства на положительное число, получим неравенство

Из неравенств и и теоремы 2 следует, что.

Содержание