Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.

О.Логарифмом положительного числа, по основанию, где, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число.

Из определения следует формула ,(где). Эту формулу называютосновным логарифмическим тождеством.

Теорема 1 (логарифм произведения).

Пусть существуют числа и, т.е.и. Тогда существует числои выполняется равенство +=.

Доказательство.

Число - существует, так как,а неравенствоследует из положительности чисел и.

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции (вспомните эти свойства)вытекает, что.

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 2 (логарифм частного).

Пусть существуют числа и, т.е.и. Тогда существует числои выполняется равенство - =.

Доказательство.

- существует, так как , а неравенствоследует из положительности чисел и.

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции вытекает, что .

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 3 (логарифм степени).

Пусть существует число , т.е.и. Тогда для любого числа существует число и выплняется равенство.

Доказательство.

Так как ,,т.е. -существует. Рассмотрим цепочку верных равенств.

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 3 (Формула перехода к новому основанию).

Пусть существует число , т.е.и. Тогда для любого числа , такого что существуют числа и, и выполняется равенство.

Доказательство.

Числа исуществуют, так как .

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда следует, что .

13. Логарифмическая функция и ее свойства.

О.Пусть. Функция, заданная формулойназываетсялогарифмической функцией с основанием .