4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования

Оставшийся необъясненным элемент s (33) – матрицы преобразования соответствует пропорциональному масштабированию, при котором все компоненты вектора изменяются пропорционально. Покажем это, рассмотрев следующие преобразования:

, (4.54)

где Х = х, Y = y и h = s. После нормализации получим X^* = x/s и Y = y/s. Таким образом, преобразование [x y 1] [Т] = [x/s y/s 1] является равномерным масштабированием координатного вектора. Если s < 1, то происходит растяжение, а если s >1 – сжатие.

Заметим, что это преобразование осуществляется также в плоскости h = 1. Здесь h = s = const, и поэтому плоскость h ≠ 1 параллельна плоскости h = 1. Геометрическая интерпретация данного эффекта показана на рис. 4.14.

Рис. 4.14

Если s < 1, то h = const задает плоскость, лежащую между плоскостями h = 1 и h = 0. Следовательно, когда преобразуемая прямая АВ проецируется обратно на плоскость h = 1, то A^*B^* увеличивается. Аналогично, если s > 1, то h = const определяет плоскость, расположенную за плоскостью h = 1 и проходящую вдоль оси h. В случае проецирования прямой CD на плоскость h = 1 происходит уменьшение прямой C^*D^*.