4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат

Матрицу преобразования размером 33 для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части

. (4.50)

Напомним, что a, b, c и d – коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы m и n задают перемещение. В предыдущих подразделах коэффициенты имели значения p = q = 0 и s = 1. установим величины p и q не равными 0. какой эффект получится? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При p = q = 0 и s = 1 однородные координаты преобразованных векторов всегда равны h = 1. геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью h = 1.

Для иллюстрации эффекта преобразования при p и q, отличных от нуля, рассмотрено следующее выражение:

. (4.51)

Здесь X = hx, Y = hy и h = px + qy + 1. преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как h = px + qy + 1. Это преобразование показано на рис. 4.13, где отрезок АВ, принадлежащий физической плоскости h = 1, преобразуется в СD со значением h ≠ 1, т. е. pX + qY – h + 1 = 0.

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с h = 1, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой CD с плоскости h ≠ 1 обратно на плоскость h = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 4.13, используя правило подобия треугольников, получим

или в однородных координатах

.

Рис. 4.13

После этого, нормализуя выражение (4.51) делением однородных координат на величину h, получаем

(4.52)

или

,

. (4.53)

Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.