2. Теоретичні основи симплекс-метода.

Теорема 1.

Якщо для деякого вектора P_j, який не входить у базис, виконується умова

Δ_j<0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на максимум)

або

Δ_j>0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на мінімум),

то можна отримати новий опорний план, для якого значення цільової функції f(x) буде більше (якщо f(x)→max),або менше ( якщо f(x)→min) вихідного; при цьому можуть бути два випадки:

а) якщо координати вектора P_j, який необхідно ввести у базис, недодатні, то задача ЛП не має розв’язку;

б) якщо існує хоча б одна додатня координата вектора P_j, який необхідно ввести у базис, то можна отримати новий опорний план.

Теорема 2.

Якщо для всіх векторів P_j, виконується умова

Δ_j≥0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на максимум)

або

Δ_j≤0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на мінімум),

то опорний план Х^*=((х₁)^*, (х₂)^*, ......... (х_n)^*) є оптимальним.

Якщо після побудови симплекс-таблиці виявилось, що виконуються умови Т.1 (пункт а)), або Т.2 розв’язання задачі припиняється. Якщо виконуються умови Т.1 (пункт б)), то потрібно перейти до нового оптимального опорного плану, побудувавши наступну симплексну таблицю. Для переходу до нового опорного плану треба один вектор вивести з базису і на його місце ввести новий вектор, який не належить базису. У базис вводять вектор, якому відповідає найбільша за абсолютною величиною від’ємна оцінка Δ_j. Нехай існує така оцінка в k- му стовпці, тобто max| Δ_j | = Δ_k.

Δ_j≤0

Тоді вектор Р_к вводимо у новий базис. Для знаходження вектора Р_r, який необхідно вивести, обчислюють співвідношення

Q= min(b_i/a_ik) ( i=1,2…..m) ,

мінімальне значення якого досягається при i=r. Елемент a_rk називається розв’язувальним .

Рядок Р_r і стовпець Р_к на перетині яких знаходиться розв’язувальний елемент a_rk, називають розв’язувальним. Для перерахунку елементів нової (наступної) симплекс – таблиці користуються методом Жордана – Гауса.