5. Перша та друга варіації функціоналу.
Якщо для довільно малої варіації аргументу приріст функціоналу можна подати у вигляді суми головної частини, лінійної відносно , та нескінченно малої вищого порядку порівняно з : де — лінійний відносно функціонал, — нескінченно малий вищого порядку порівняно з функціонал: , тобто, де то сам функціонал називається варійовним, а головна лінійна відносно частина його приросту називається диференціалом або варіацією функціоналу і позначається : де . (Перше означення варіації функціоналу).
При дослідженні функціоналів варіація функціоналу відіграє роль, аналогічну тій, яку виконує при дослідженні функцій диференціал. В таблиці 1 наведено відповідність понять диференціального та варіаційного числень.
Таблиця 1
№ п/п | Диференціальне числення | Варіаційне числення |
| | Аргумент — числова змінна х | Аргумент — числова функція |
| | Залежна змінна — числова y | Залежна змінна — числова I |
| | Приріст аргументу | Варіація аргументу |
| | Приріст функції | Приріст функціоналу |
| | Диференціал функції | Варіація функціоналу |
| | Другий диференціал функції | Друга варіація функціоналу |
| | Необхідна умова екстремуму | Необхідна умова екстремуму |
| | Стаціонарна точка функції | Стаціонарна функція (допустима екстремаль) функціоналу |
| | Достатня умова екстремуму: | Достатня умова екстремуму: |
Варіацію називають також варіацією першого порядку або першою варіацією функціоналу . Варіацію другого порядку введемо аналогічно тому, як це робиться для диференціала другого порядку функції.
Візьмемо довільну допустиму функцію і довільну її варіацію таку, що функція є допустимою функцією. Зафіксуємо та і розглянемо однопараметричну сім'ю функцій , де — деяке число. Функціонал на вказаній сім'ї функцій є функцією параметра :
.
Розкладемо цю функцію за формулою Тейлора до квадратичного члена включно в околі точки :
де залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з : .
Тоді варіаціям першого та другого порядку можна дати такі означення.
Варіацією або першою варіацією функціоналу називається значення першої похідної функції при :
(Друге означення варіації функціоналу).
Можна показати, що це означення першої варіації рівносильне наведеному раніше. На практиці зручніше користуватись останнім означенням.
Другою варіацією функціоналу або варіацією другого порядку називається значення другої похідної функції при :
Приклад 3. Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись першим означенням як головної лінійної відносно частини приросту .
Розв'язання. а) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням
б) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням .
в) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням .
Приклад 4.Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись другим означенням варіації функціоналу як похідної по параметру.
Розв'язання. У відповідності з другим означенням варіації функціоналу маємо:
а)
б)
в)
- Предмет математичного моделювання.
- Моделювання в економіці.
- 3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- 4. Задачі планування та організації виробництва.
- 4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- 4.2. Задача про завантаження обладнання.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- Задачі математичного програмування.
- 2. Класифікація методів математичного програмування.
- 3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- Коефіціети прямих та побічних витрат.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- 1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- 2. Форми запису загальної задачі лп.
- 3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- 2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- 3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- 1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- 2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- 3. Поняття виродженності задач лп.
- Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- 4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- 5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- 6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- 1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- 2 Основні теореми транспортної задачі.
- 3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- 5. Метод потенціалів.
- 6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- 7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- Задача про призначення.
- Розподільчи задачі загального типу.
- Модель розподільчої задачі
- Етапи розв’язання розподільчої задачі
- Приклад вирішення задачі типу тз.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- 1 Математичні моделі двоїстих задач.
- 3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- Задачі цілочислового програмування.
- 2. Метод Гоморі.
- 3. Параметричне лінійне програмування.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 6. Елементи теорії ігор
- Тема лекції: Матричні ігри
- 1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- Тема 6. Елементи теорії ігор
- Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- 4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- 5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- Зведення задачі лп до матричної гри.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- 2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- 3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- 4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- 1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- 2. Метод множників Лагранжа.
- 3. Задачі опуклого програмування.
- Задачі опуклого програмування.
- Питання для самоконтролю.
- Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- Поняття про функціонал.
- 2. Екстремум функціоналу.
- 3. Класичні задачі варіаційного числення.
- 4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- 5. Перша та друга варіації функціоналу.
- Питання для самоконтролю.