Коефіціети прямих та побічних витрат.

(5)

- технологічні коєфіцієнти;

а_ij – коєфіцієнти прямих витрат

Прямі матеріальні витрати будемо називати витрати, обумовлені на кінцевому етапі виробництва.

Z_повн = Z_поб + Z_прям

З рівняння (5) маемо:

(6)

Тоді у формулу (4) підставимо x_ij:

Х_i= (7)

Яку запишемо в матричному вигляді:

(8), де

а – матриця кофіціентів прямих витрат

Рівняння (8) можна переписати у матричному вигляді:

Е , (8^*)

де Е – единична матриця:

(9)

= А – матриця повних витрат. Тоді:

(10)

Вираз (10) можна представити в розгорнутій формі:

(11)

В загальному вигляді для любої галузі i маємо :

(12)

Матриця а зветься продуктивною, як що для любого вектора Y існує рішення Х рівняння (8) . В цьому випадку і модель Леонтьева зветься продуктивною. Існує де кілька критеріїв визначення продуктивності матриці а. Один з них говорить, що матриця а продуктивна, якщо максимум сум ії столбців не перевищує одиниці, причому хоча б для одного з столбців сума елементів строго менше одиниці.

Зауважимо, що система рівнянь даної задачі допускає тільки невід’ємні розв’язки. Достатні умови існування таких розв’язків через власні числа матриці а можна записати так: λ_max<1.