4.2. Задача про завантаження обладнання.

Нехай підприємству задано план виробництва продукції за часом і номенклатурою: треба за час Т виготувати n₁, n₂, …… n_k одиниць продукції Р₁, Р₂, P₃, ……P_k. Продукція обробляється на верстатах S₁, S₂, S₃,……. S_m. Для кожного верстата відома продуктивність а_ij (тобто кількість одиниць продукції Р_j, яку можна виготувати на верстаті S_i) і витрати b_ij на виготовлення продукції Р_j на верстаті S_i за одиницю часу.

Необхідно скласти такий план роботи верстатів (тобто так розподілити обробку продукції між верстатами), щоб витрати на виробництво всієї продукції були мінімальними.

Позначимо х_ij – час, протягом якого верстат S_i буде виготовляти продукцію Р_j (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..n).

Оскільки час роботи кожного верстата обмежений і не перевищує Т, то справедливі нерівності:

x_1,1+ x_1,2 +x_1,3 + ……. + x_1,k ≤ T

x_2,1+ x_2,2 +x_2,3 + ……. + x_2,k ≤ T

x_3,1+ x_3,2 +x_3,3 + ……. + x_3,k ≤ T (4)

x_m,1+ x_m,2 +x_m,3 + ……. + x_m,k ≤ T

Для виконання плану виготовлення за номенклатурою необхідно, щоб виконувались рівності:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁+……………. + a_m1x_m1 ≤ n₁

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂+ …………… +a_m2x_m2 ≤ n₂

…………………………………………. (5)

a_1kx_1k+a_2kx_2k+………………+a_mkx_mk ≤ n_k

Крім цього, х_ij≥0, (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..k) (6)

Витрати на виробництво всієї продукції задаються функцією

L= b_1kx_1k+b_2kx_2k+……+b_mkx_mk →min (7)

Отже, ЕММ задачі про завантаження обладнання має вигляд:

Знайти такий розв’язок Х=(x₁₁,x₁₂,x₁₃,…….,x_mk ) , що задовольняє системам (4) – (6), за якою функція набуває мінімального значення.

Приклад 3.

Інвестиційна компанія має на своєму рахунку 5 млн. грн. Розглядаються чотири види інвестицій – державні цінні папери, цінні папери корпорацій, акції сфери обслуговуння та акції виробничої сфери. Державні цінні папери належать до без ризикових, решта інвестицій – до ризикових. Метою інвестиційної компенії є максимізація прибутку. Прибуток від інвестицій становить відповідно – 5%, 8%, 10% та 12%. Гроші які не інвестуються, залишаються на банківському рахунку і дають прибуток 1%. Менеджер з інвестицій ухвалив рішення, що не менше ніж 2 млн. грн. слід розмістити у цінні папери корпорацій, а в інвестиційні проект из елементами ризику потрібно вкласти не більше ніж 4 млн. грн.

Визначити оптимальний інвестиційний портфель, суму грошей, яка залишиться на банківському рахунку, а також річний прибуток від реалізації цього портфеля.