Комбинированные преобразования

Возможности матричного метода достаточно ясно описаны в предыдущих подразделах. С помощью матричных операций над координатными векторами, определяющими вершины фигур, можно управлять формой и положением поверхности. Однако для получения желаемой ориентации может потребоваться более одного преобразования. Так как операция умножения матриц не коммутативна, то важен порядок выполнения преобразования.

Для иллюстрации эффекта некоммутативности операции умножения матриц рассмотрим преобразования поворота и отражения координатного вектора [х у]. если вслед за поворотом на 90º (посредством [T₁]) производится отражение относительно прямой у = –х (посредством [T₂]), то эти два последовательных преобразования дают

и затем

С другой стороны, если отражение следует за поворотом, то получатся следующие результаты:

и .

Оба результата различны, что подтверждает важность порядка применения матричных преобразований.

Другое принципиальное обстоятельство иллюстрируется этими результатами и приведенным ниже примером. Ранее отдельные матричные преобразования применялись последовательно к результатам предыдущих преобразований, например

и

В приведенном ниже примере отдельные преобразования предварительно комбинируются или конкатенируются, а затем полученная матрица применяется к исходному вектору, т. е. [T₁] [T₂] → [T₃] и [x y] [T₃]→[x^* y^*].

Пример 4. Комбинированные преобразования на плоскости

Рассмотрим треугольник АВС на рис. 4.10.

Рис. 4.10

Выполним над ним два преобразования: поворот на +90º вокруг точки начала координат

,

отражение относительно линии у = – х

.

Результатом воздействия комбинированного преобразования [T₃] = [T₁][T₂] на треугольник АВС является

или

.

Получившийся треугольник А^*В^*С^* является конечным результатом данного преобразования, а треугольник А′В′С′ – промежуточным результатом (рис. 4.10).

Проведем преобразование в обратном порядке

или

.

Конечным результатом будет треугольник D^*E^*F^*, а промежуточным D′E′F′ (рис. 4.10). Оба результата различны, тем самым снова подтверждается важность порядка применения преобразований. Отметим также, что для определителей справедливы равенства det [T₃] = –1 и det[T₄] = –1 и поэтому оба результата могут быть получены с помощью единственного отражения. Треугольник А^*В^*С^* можно получить из АВС путем отражения относительно оси Y (матрица [T₃] и уравнение (4.39)), D^*E^*F^* получается из АВС при отражении относительно оси Х (матрица [T₄] и уравнение (4.39)).