Определение

Две точки на прямой А и В определяют отрезок.

Следствие

Согласно аксиомам 9–11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.

Определение

Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Аксиома Паша

12. Пусть задан треугольник АВСи в его плоскости прямая а, не проходящая черезА, B, C. Если прямая а пересекает одну сторонуАСтреугольника, то она пересекает по крайней мере еще одну сторону.

Вот типичная теорема этой группы аксиом.

Теорема 4

ОтрезокАВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Схема доказательства.

(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ (акс.3) (рис. 1);

(2) существует точкаDна прямойАСи точкаCлежит междуАиD;

(3) существует прямая ВD, (акс.1–2) и существует точка Е и D лежит между В и Е;

(4) прямаяЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).

(5) аналогично доказывается, что на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д.

Теорема доказана.

Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.