Свойства:
Область определения функции: .
, т.к. значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа (почему?).
Множество значений функции:
Преобразуем квадратный трехчлен, задающий квадратичную функцию, выделив полный квадрат:
Введем обозначения: тогда.
Выражение может принимать любые неотрицательные значения в зависимости отx. Поэтому, при , а при
Периодичность:
Квадратичная функция не может быть периодической, т. к., например, свое значение она
принимает только в одной точке .
Чётность/нечётность
Если , то функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), т.к., то естьи
Если , то функция имеет види, значит функция четная.
Точки пересечения графика с осями координат.
Точки пересечения с осью :
Точки пересечения с осью :, корни этого уравнения существуют, если, в противном случае точек пересечения с осью абсцисс нет.
Если , то точка пересечения одна и имеет координаты
Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам:,
Поэтому точек пересечения с осью две, и они имеют координатыи
Промежутки знакопостоянства функции:
Если :, то выражение видадля всех. Значит,,.
: , тогда,
: , где- корни уравнения.
Тогда при значения выражений, стоящих в скобках, будут иметь одинаковые знаки, значит, их произведение будет положительным, и прина данных промежутках квадратичная функция будет принимать положительные значения, а при- отрицательные.
Если , то наоборот, знаки выражений в скобках будут разными и, следовательно, из произведение будет отрицательным.
Тогда при на данном промежутке функция принимает отрицательные значения, а при- положительные.
Интервалы возрастания/убывания
Теорема.
Если , то функция является возрастающей прии убывающей при
Если , то функция является возрастающей прии убывающей при
Доказательство:
Пусть .
Рассмотрим разность значений квадратичной функции в точках , таких, что
при чем, . Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что, т.е., значит, если, то функция является возрастающей при.
Если , тогда последний сомножитель отрицателен (как сумма двух отрицательных чисел), а первые два положительны, тогда их произведение – отрицательно.
Таким образом,, и функция убывает при.
Случай рассматривается аналогично(рассмотрите его самостоятельно).
Наибольшее/наименьшее значение функции
Так как при функция возрастает наи убывает на, то прифункция принимает наименьшее значение, и оно равно.
При функция возрастает наи убывает на, поэтому прифункция принимает наибольшее значение и оно равно.
График функции.
О. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой (рис.3).
О. Точка с координатами называетсявершиной параболы.
- Элементарная математика
- Часть1. (Алгебра и начала анализа)
- Основные определения
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства:
- Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
- Свойства степени с натуральным показателем
- Свойства степени с действительным показателем
- Свойства:
- Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
- Свойства:
- Преобразование графиков функций
- Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
- Теорема Виета.
- Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- Формулы сокращенного умножения.
- Свойства числовых неравенств.
- Свойства числовых равенств.
- Метод интервалов
- Формулы приведения.
- Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
- Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
- Преобразование суммы (разности) в произведение
- Преобразование произведения в сумму.
- Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
- Арксинус
- Арккосинус
- Арктангенс
- Арккотангенс
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
- Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
- Делимость на 2
- Делимость на 3 на 9
- Делимость на 5
- Делимость на 10
- Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
- Свойства арифметического квадратного корня
- Cвойства
- Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- Тригонометрическая окружность
- Сборник формул
- Библиографический список