Определение (дедуктивной полноты)

Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.

Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид

И=ДUО. (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П – параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты (см., например [7], [8]).

В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и две ее реализации в модели R² и в модели L₂. Мы уже показали (см. пример п.6.5. §6), что модели R² и L₂ неизоморфны.

Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.