logo search
elem_mat_phil

Следствие 2

В плоскости Лобачевского L2 сумма углов треугольника не постоянна и может принимать любое значение больше нуля и меньше .

2. Взаимное расположение прямых в плоскости L2

Всякие две прямые в плоскости L2 либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не пересекаются, рис. 3.

3. Перпендикуляр к стороне угла

Для любого угла, образованного пересечением прямыхОА и ОВ (рис. 12), на любой из его сторон (например, на стороне ОА) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB (рис. 12): MBOA, и MB||OB. При этом всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"MA, не имеет общих точек со стороной OB.

4. Четвертый признак конгруэнтности треугольников

В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны [7].

Вывод 2

Рассмотренные выше неевклидовы отношения 1–4 между прямыми на плоскости Лобачевского являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского и реализуются в модели Пуанкаре L2.

      1. О роли открытия неевклидовой геометрии

Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания. Вначале подверглись анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивного формализма в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи математического формализма подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания.

В современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании вообще и в математическом моделировании в частности.