6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
Теорема: У любого непустого ограниченного сверху множества существует ТВГ.
Д ок-во: Пусть b – верхняя грань множества E, a E.
а (a+b)/2 b
[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.
Свойства [a,b]:
⩝x E x<=b
E [a,b]
Эти процедуры повторяем много раз и получаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex<=bk ;E [ak,bk]
Далее доказываем по индукции:
Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [ak+1,bk+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.
Рассмотрим длины этих отрезков bk-ak= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к>тем длина меньше. По этому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТВГ данного множества ⩝x E:x<=c.
Предположим обратное: пусть x E, x>c =>bn-c bn-an<x-c |=>bn<x.
Получили противоречие с условием=>ЧТД
Теорема: У любого непустого ограниченного снизу множества существует ТНГ.
Д ок-во: Пусть a – нижняя грань множества E, a E.
а (a+b)/2 b
[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.
Свойства [a,b]:
⩝x E x>=a
E [a,b]
Эти процедуры повторяем много раз и полуаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex>=ak ;E [ak,bk]
Далее доказываем по индукции:
Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [ak+1,bk+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.
Рассмотрим длины этих отрезков bk-ak= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к> тем длина меньше. Поэтому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТНГ данного множества ⩝x E :x>=c.
Предположим обратное: пусть x E, x<c⇒bn-c bn-an<x-c⇒an<x.
Получили противоречие с условием=>ЧТД
-
Содержание
- 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- Теорема о пределе ограниченной функции.
- 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- Производные основных элементарных функций (вывод).
- 29) Теорема о производной сложной функции.
- 30) Теорема о производной обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- Формула Тейлора (доказательство).
- Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- Теорема (правило) Лопиталя.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- 49. Интегрирование элементарных дробей.
- 50. Интегрирование рациональных функций.
- 51. Интегрирование тригонометрических функций.