Замечание

Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю – наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rⁿ, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и т.д.

5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского

   1. Основные понятия модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского

Аксиомы 1–3 I группы аксиом Д. Гильберта вместе с остальными аксиомами II–V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости (см. п.2.2 §2). Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.

V’. Аксиома параллельности Лобачевского

Через любую точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.

Определение плоскости Лобачевского

Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1–3 группы I, всеми аксиомами групп II–IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.

Эта модель неевклидовой геометрии была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829–1830 г. г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, так как в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.

То, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности (см. замечание 3 §3). Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854–1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

Рассмотри кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в [7].

1. Представление основных объектов – точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l – произвольная прямая евклидовой плоскости. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, (рис. 8).

2. Прямаяl представляет «бесконечно удаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом.

3. Углы между прямыми – это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти прямые (рис. 8).

4. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно–линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4 точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно найти, например, в [7].

В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1–4, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L₂ и ограничимся проверкой нескольких аксиом.

Проверим две первые аксиомы I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L₂ по двум любым точкам. Пусть абсолют l – линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x₀, О)  l и радиусом R имеют вид

(x–x₀)² + y² = R² . (5)

Две точки B(x₁,y₁), C(x₂,y₂) лежат на некоторой «прямой»  тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5) для некоторых значений x₀ и R:

(6)

В полученной алгебраической системе уравнений числа x₁, y₁ и x₂, y₂ заданы, а величины x₀ и R – искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим

x₁² – x₂² + y₁² – y₂² = 2x₀(x₁ – x₂).

Откуда

Это решение определено, если x₁x₂, т.е. точкиBиCне лежат на общем перпендикуляреx₁=x₂=хк осиOX. (Еслиx₁=x₂=x, то этот перпендикуляр представляет прямую вL₂(рис. 9, а)). Подставляя найденное значениеx₀, в любое из уравнений (6), находим значение радиусаR. Тем самым найдена окружность (5), проходящая через точкиBиC. Эта окружность единственная и в моделиL₂представляет единственную же «прямую», инцидентную точкамBиC(рис. 9, b).

Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.

Оставляя проверку аксиом группы II–IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в моделиL₂. Пусть  – некоторая прямая и точка A в модели L₂, рис.3. Пусть A_ и B_ – точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой  (рис. 10). Используя формулу (5) точно так же, как при проверке аксиом 1–2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A_, обозначим ее ₁(A,A_), и, аналогично, единственная окружность ₂(A,B_) (рис. 10). Полуокружности ₁ и ₂ в верхней полуплоскости L₂ представляют две прямые, параллельные прямой , так как имеют с ней общие точки A_=₁ и B_=₂, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых , представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного ₁, и ₂ (рис. 10). Эти прямые не имеют общих точек с  в L₂ даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с .