Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числаа, такого, что, в промежутке существует единственный кореньb уравнения. Это числоbназывают арккосинусом числаа и обозначаютarcсos a.

О.Арккосинусом числаа называется такое число из отрезка ,косинус которого равен а.

Так как для любогох, то приуравнениене имеет корней.

При на отрезке уравнениеимеет в точности одно решение.Косинус – чётная функция, и, значит, на отрезке уравнениетакже имеет в точности одно решение – число.

Итак, уравнение на отрезке длиной 2имеет два решения

(совпадающие при а=1). Учитывая, что период косинуса равен 2, получаем такую формулу для записи всех решений

.

Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 14). По определению cos x – абсцисса точки единичной окружности. Если, то таких точек две; если жеили, то одна.

При числа исовпадают (они равны нулю), поэтому решения уравненияпринято записывать в виде.

Особая форма записи принята также для и:при,, при.