3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.

Розглянемо пару двоїстих задач ЛП (1) – (3) і (1)* - (3)*, пряма задача якої записана у канонічному вигляді. Наступна теорема встановлює взаємозв’язок між розв’язками прямої і двоїстої задачами.

Теорема 3. Якщо пряма задача ЛП має оптимальний план Х*, отриманий симплекс методом, то оптимальний план Y* двоїстої задачі визначається за формулою:

Y*=C_базР^-1 (4)

де C_баз – вектор рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при невідомих, які є базисними в оптимальному плані; Р^-1 – матриця, обернена до матриці Р, складеної з компонент базисних векторів оптимального плану задачі.

Таким чином, якщо знайти симплекс методом оптимальний план задачі (1) –(3), то використовуючи останню симплекс таблицю, можна визначити C_баз і Р^-1 та за допомогою співвідношення (5.4), знайти план двоїстої задачі.

Відмітимо, що існує взаємно-однозначна відповідність між змінними: основним змінним прямої задачі відповідають додаткові змінні двоїстої задачі і навпаки:

Ідея двоїстого симплексного методу полягає у зв’язку між розв’язуваннями прямої та двоїстої задач ЛП. Немає потреби окремо розв’язувати пряму задачу, а окремо двоїсту, оскільки розв’язок обох задач можна знайти за одними й тими самими симплекс таблицями, пам’ятаючи, що невідомим прямої задачі відповідають стовпчики таблиці, а невідомим другої – рядки таблиці.

Двоїстий симплекс метод використовується для знаходження розв’язку задачі ЛП, записаної у канонічному вигляді, для якої серед векторів Р_j, складених з коефіцієнтів при невідомих у системі рівнянь, є рівно m одиничних.

Також цей метод можна використовувати для знаходження розв’язку задач ЛП, коли вільні члени системи рівнянь є довільними числами (для розв’язування задач симплекс методом числа b_i припускались невід’ємними).