Функция if

Функция if используется для определения функции, которая ведет себя по-разному слева и справа от некоторой точки. Эта точка разрыва определяется первым аргументом,  cond. Другие два аргумента позволяют определить поведение функции по обе стороны от точки разрыва.

Хотя аргумент cond может быть любым выражением, обычно удобнее использовать какое-либо булево выражение из таблицы, приведенной ниже. В этой таблице через x и y обозначены вещественные скаляры, а через w и z — комплексные скаляры.

Обратите внимание, что булевы выражения, включая неравенства, не могут использоваться с комплексными числами, поскольку бессмысленно говорить относительно одного комплексного числа, что оно является большим или меньшим, чем другое.

Чтобы сохранить время, Mathcad вычисляет только те выражения, которые необходимо. Например, если cond есть ложь, нет нужды вычислять tval, так как его значение не будет возвращено. Из-за этого ошибки в невычисляемом выражении могут выпасть из поля зрения. Например, Mathcad никогда не обнаружит, что в выражении ниже ln(0) не определён:

if(|x| <  0 , ln(0) , ln(x))

Рисунок 5 показывает некоторые формулы, использующие функцию if. Вы можете объединять булевы операторы, чтобы записать более сложные условия. Например, условие

(x < 1) (x > 0)

действует подобно логическому “и”, возвращающему 1, только если x заключено между 0 и 1. Аналогично, выражение

(x > 1)+(x < 0)

действует подобно логическому “или”, возвращающему 1, если или x>1, или x< 0, но не если x заключено между 0 и 1.

Рисунок 5: Условные выражения в Mathcad.

Функция until

Функция until позволяет останавливать вычисления, когда выполняется определенное условие. Её первый аргумент должен включать дискретную переменную. Mathcad будет выполнять вычисления для последовательных значений дискретного аргумента, пока первый аргумент until не станет отрицательным. Когда это случается, Mathcad останавливает вычисления.

Не используйте функции until в формулах с несколькими дискретными аргументами (например, в кратных суммах). Mathcad будет останавливать все вычисления по всем дискретным аргументам, как только первый аргумент until станет отрицателен. Это обычно не дает желаемого результата.

Рисунок 6: Использование функции until для остановки вычислений.

Функция until полезна в итерационных процессах с определенным условием сходимости. Например, Рисунок 6 показывает, как использовать функцию until, чтобы проверить итерационный процесс на сходимость. Вычисления по формуле для продолжаются, пока не попадет внутрь интервала полуширины err с центром в точке a. Рисунок 6 также показывает, как использовать функцию last, чтобы обнаружить, когда вычисления были остановлены, и вычислить размер возникающего в результате массива. При использовании функции until убедитесь, что значение первого аргумента изменяется где-нибудь в процессе итерации. Иначе можно оказаться в бесконечном цикле. Если это случится, нажмите [Esc], чтобы прервать вычисления.

Импульсные и ступенчатые функции

Эти две функции используют функцию if.  Cтупенчатая функция Хэвисайда эквивалентна следующей:

F (x) := if(x < 0,0,1)

Для целых  m и n символ Кронекера эквивалентен функции

d (m, n):= if(m = n, 1,0)

Ступенчатая функция Хэвисайда может быть использована для создания импульса шириной w:

pulse(x,w):= Ф(x) - Ф(x-w)

Можно определить также две полезные функции lowpass и highpass. Они обе являются фильтрами — умножение на них какого-либо сигнала вырезает из этого сигнала кусок вокруг точки x, имеющий ширину 2w. Разница состоит в том, что lowpass оставляет только вырезанный кусок, highpass — всё, кроме вырезанного куска.

lowpass(x,w):= pulse(x+w,2*w)

highpass(x,w):= 1 - pulse(x+w,2*w)

Рисунок 7 иллюстрирует использование ступенчатой функции Хэвисайда для создания фильтров.

Рисунок 7: Использование ступенчатой функции Хэвисайда для фильтрации.

 - функция

Аргументы этой функции — три целых числа между 0 и 2 включительно. Она определяет, сколько раз необходимо сделать перестановку двух аргументов, чтобы вернуться к последовательности [0, 1, 2] из той последовательности [i, j, k], которая передана ей в качестве аргументов.

Конкретно: (i, j, k) = 1, если [i, j, k]— четная перестановка [0, 1, 2], и (i, j, k) = -1, если [i, j, k]- нечетная перестановка . Это объясняет, почему (0, 1, 2) = 1.

Например, (2, 0, 1) = 1, поскольку, чтобы перейти из [2, 0, 1] обратно к [0, 1, 2], требуется дважды менять аргументы местами. С другой стороны, (0, 2, 1) = -1, поскольку чтобы перейти из [0, 2, 1] обратно к [0, 1, 2], необходимо менять аргументы местами один раз. Если два аргумента одинаковы, например (0, 1, 1), нельзя вернуться к [0, 1, 2], поэтому функция возвращает 0.

Хотя эта функция используется не очень часто, она незаменима, когда нужно посчитать перестановки. Очень трудно выполнить эту замысловатую операцию, используя комбинации любых других функций Mathcad.

Программа Mathcad есть частный случай выражения Mathcad. Подобно любому выражению, программа возвращает значение, если за ней следует знак равенства. Точно так же, как переменную или функцию можно определить через выражение, их можно определить и с помощью программы.

Главным различием между программой и выражением является способ задания вычислений. При использовании выражения алгоритм получения ответа должен быть описан одним оператором. В программе может быть использовано столько операторов, сколько нужно. Можно рассматривать программу как “составное выражение.”

Следующий пример показывает, как написать простую программу для вычисления  функции

Хотя этот пример настолько прост, что, может быть, и программа в этом случае не нужна, он позволяет показать, как нужно отделять друг от друга операторы, и как использовать локальный оператор присваивания “ ”.

• Введите левую часть определения функции и знак равенства “:=” и удостоверьтесь в том, что появилось поле ввода.

• Теперь нужно открыть панель программирования, щёлкнув по кнопке программирования в панели управления. Затем нужно нажать на панели кнопку“Add Line” или на клавиатуре клавишу ].  Появится вертикальный столбец с двумя полями ввода для занесения операторов, образующих программу. Поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка по кнопке “Add Line”.

• Перейдите в верхнее поле ввода, нажав клавишу [Tab]. Напечатайте z и нажмите кнопку “ ” на панели программирования или клавишу  для того, чтобы ввести “ ”.

• В поле ввода справа от “ ” введите x/w.

• Последнее поле ввода предназначено для задания возвращаемого функцией значения log(z).

Теперь эту функцию можно использовать точно так же, как любую другую функцию. На Рисунке 1 эта функция показана вместе с функцией, ей эквивалентной, но определенной на одной строке вместо двух. Отметим, что переменная z не определена вне программы. Определение z внутри программы является локальным и действительно только внутри этой программы.

Программа может состоять из любого числа операторов. Чтобы прибавить оператор, нужно щёлкнуть по кнопке “Add Line” на панели программирования. Mathcad добавляет поле ввода внизу выделенного к этому моменту оператора. Чтобы исключить позицию ввода, ее нужно выделить, заключив в выделяющую рамку, и нажать клавишу [Del].

Рисунок 1: Определение одной и той же функции с помощью программы и через выражение.

На Рисунке 2 приведен несколько более сложный пример с формулой для корня квадратного уравнения. Хотя вычисление этого корня может быть описано одной формулой, как это показано в верхней половине рисунка, однако удобнее вычислять его с помощью последовательности простых операторов, как показано в нижней половине рисунка. Это позволяет избежать редактирования громоздких формул.

Рисунок 2: Определение более сложной функции в виде выражения и в виде программы.

Таким образом, программа Mathcad есть выражение, состоящее из последовательности операторов, каждый из которых является, в свою очередь, выражением. Как и любое другое выражение, программа Mathcad возвращает значение. Этим значением является значение последнего выражения, выполненного программой. Возвращаться может просто число, как на Рисунках 1 и 2, или массив чисел, как на Рисунке 6, или даже их комбинация, описанная в разделе “Составные массивы” .

Нижеследующие разделы описывают использование условных операторов и различных конструкций операторов цикла для управления ходом выполнения программы.

Обычно Mathcad выполняет операторы программы в порядке сверху вниз. Могут встретиться случаи, в которых какой-нибудь оператор нужно выполнить только в случае выполнения некоего условия. Этого можно добиться с помощью оператора “if”. Ниже приводится пример определения функции, задаваемой разными аналитическими соотношениями на разных участках области определения:

• Введите левую часть определения функции и знак равенства “:=” и удостоверьтесь в том, что появилось поле ввода.

• Нажмите кнопку “Add Line” на панели программирования или клавишу ].  Появится вертикальный столбец с полями ввода для операторов программы.

• Перейдите в верхнее поле ввода и щёлкните по кнопке “if” на панели программирования, либо нажмите клавишу }.

• Правое поле ввода предназначено для булевого выражения. Левое поле ввода предназначено для значения, которое будет иметь выражение, если логическое выражение в правом поле истинно.

• Выделите оставшееся поле ввода и нажмите кнопку “otherwise” на панели программирования.

• Введите в оставшееся поле значение, которое программа должна возвратить в случае, если логическое выражение ложно.

На Рисунке 3 показан график этой функции. Она имеет только два варианта возвращаемого значения и поэтому легко может быть определена с помощью встроенной функции if, как на Рисунке 3. Если же число вариантов больше двух, то использование встроенной функции if быстро становится обременительным, пример чего приведен на Рисунке 4.

Рисунок 3: Использование оператора “if” для задания кусочно-непрерывной функции.

Рисунок 4: Сравнение программного оператора “if” со встроенной функцией “if”.

Одним из величайших преимуществ программирования является возможность многократного выполнения некоторой последовательности операторов в цикле. Mathcad предлагает два вида циклов, отличающихся по способу определения условия завершения цикла.

• Если заранее точно известно необходимое число выполнений цикла, то целесообразно использовать цикл типа for.

• Если цикл должен завершиться по выполнении некоторого условия, причем момент выполнения этого условия заранее не известен, то целесообразно использовать цикл типа while.