4.3.1.1. Непараметрические кривые

Математически кривая может быть представлена в параметрической или непараметрической форме. Непараметрическая кривая задается в виде явной или неявной функции. Для плоской кривой явное непараметрическое представление имеет вид:

.

Пример – уравнение прямой y = mx + b. При этом одному значению х соответствует только одно значение у, поэтому замкнутые или многозначные кривые, например окружность, явно представить нельзя. Неявное представление

,

позволяет обойти это ограничение. Общий вид неявного уравнения второй степени

порождает различные двумерные кривые, называемые коническими сечениями. На рис. 4.20 изображены три вида конических сечений – парабола, гипербола и эллипс. Окружность – это частный случай эллипса. Определяя коэффициенты а, b, c, d, e и f , можно получить разные конические сечения. Если сечение задано относительно локальной системы координат и проходит через ее начало, то f = 0. Для того чтобы провести кривую через данные точки, используются граничные условия.

Пусть с = 1,0, тогда сегмент кривой между точками определяется пятью независимыми условиями, из которых вычисляются оставшиеся коэффициенты a, b, d, e и f. Например, можно указать положение крайних точек, наклон кривой в них и промежуточную точку на кривой.

Если b = 0 и c =1,0, то аналитическое представление кривой получается с помощью только четырех дополнительных условий в них. Кривая при a = 1,0, b = 0 и c = 1,0 еще проще:

.

Тремя условиями для вычисления d, e и f могут быть две концевые точки и наклон кривой в одной из них или же две концевые точки и третья точка на кривой.

Рис. 4.20

При a = b = c = 0 получается прямая линия. Ее уравнение

или

где m – наклон линии; b’ – пересечение с осью у.

Как явное, так и неявное непараметрическое представление осезависимо, т. е. сложность обработки зависит от выбора системы координат. Например, если в заданной системе координат граничным условием является вертикальный наклон, нужно либо изменить ее, либо аппроксимировать бесконечный коэффициент наклона наибольшей допустимой положительной или отрицательной величиной.

Кроме того, если точки на осезависимой непараметрической кривой вычисляются с равномерным приращением по х или у, они не будут равномерно распределены вдоль кривой. Это может повлиять на качество и точность графического изображения. Тем не менее непараметрическое представление бывает полезным. Теперь рассмотрим параметрическое представление, позволяющее обойти эти ограничения.