§24. Параболоиды.

Параболоидомназывается поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат

определяется уравнением , где коэффициентыА, В иKне равны нулю.

Возможны два случая: AB > 0 и AB <0. Для определенности будем считатьA >0, K <0.

1. A> 0,B> 0,K< 0. Уравнение приводится к виду.

В сечениях z =h(h> 0) получаем эллипсы, полуоси которых растут с ростомh.

В сечениях x=hиy=h− параболыи(рис.13а).

Поверхность называетсяэллиптическим параболоидом.

z z

х

y y

x

рис.13а рис.13б

II.A> 0,B< 0,K< 0. Уравнение имеет вид:−гиперболический параболоид.

В сечениях z=hполучаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знакаh.

В сечениях x=hиy=h− параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).

Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никаких других поверхностей второго порядка не существует. Возможны только некоторые частные и вырожденные случаи.Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одному из рассмотренных типов.

23