Некоторые замечательные кривые
1.1 Определение.
Прямая строфоида, или просто строфоида, определяется так: берём взаимно-перпендикулярные прямые AB, CD (рис.1) и на одной из них точку A; через неё проводим произвольую прямую AL, пересекающую CD в точке P. На AL откладываем отрезки PM1,, PM2 равные PO (O - точка пересечения AB и CD). Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек M1,M2.
Косая строфоида (рис.2) строится аналогично с той разницей, что AB и CD пересекаются косоугольно.
1.2 История вопроса
Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды. Нынешнее название введено Миди в 1849 г.
1.3 Стереометрическое образование
Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD (см. рис.1) и радиусом AO. Через точку A проведем перпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость K (прямая AL - след этой плоскости). В сечении получим эллипс; его фокусы M1, M2 описывают прямую строфоиду.
Косая строфоида строится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхность заменяется конической: ось конуса (OS на рис.2) проходит через O перпендикулярно AB; прямая UV, проходящая через B параллельно CD, - одна из образующих. Точки M1, M2 - фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину S последней.
1.4 Особенности формы
Точка O - узловая; касательные к ветвям, проходящим через O, взаимно перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косой строфоиды (рис.2) прямая UV служит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноотстоящей от A и B.
У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV (см. рис.1) служит асимптотой для обеих ветвей.
1.5 Задача
Написать уравнение строфоиды в прямоугольной декартовой системе координат, осями которой являются прямые AB и CD, а направление оси OX определяется направлением оси строфоиды.
Решение:
Пусть O - начало координат; ось OX направлена по лучу OB; AO=a, AOD=б; когда строфоида - косая, система координат - косоугольная, ось OY направлена по лучу OD:
(1)
Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду
.
2. Циссоида Диокла
2.1 Определение и построение
На отрезке OA = 2a, как на диаметре, строим окружность C (рис.3) и проводим через A касательную UV. Через O проводим произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F; эта прямая пересечет (вторично) окружность C в точке E. На прямой OF от точки F по направлению к O откладываем отрезок FM, равный хорде OE.
Линия, описываемая точкой M при вращении OF около O, называется циссоидой Диокла - по имени греческого ученого 2 века до н.э., который ввел эту линию для графического решения задачи об удвоении куба.
Особенности формы. Циссоида симметрична относительно OA, проходит через точки B, D и имеет асимптоту UV (x = 2a); O - точка возврата (радиус кривизны RO = O).
Построение касательной. Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке M, проводим MPOM. Пусть Q, P - точки пересечения MP с прямыми OX, OY. От точки P на продолжении отрезка QP откладываем отрезок PK = PQ. Строим KNMO и ONQP. Точку N пересечения KN и ON соединяем с M. Прямая MN - нормаль к циссоиде. Искомая касательная MT перпендикулярна MN.