Некоторые замечательные кривые
4.3 Особенности формы
Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками и .
1) Когда (линия 1 жирная; для неё ) улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке O
,
Образуя две петли: внешнюю OHA1GO и внутреннюю OHC1GO. Угловой коэффициент касательных OD, OE в узловой точке:
.
Для построения касательных достаточно провести хорд OD, OE длины l в окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение
;
Наиболее удаленным точкам G, H внутренней петли - значение
.
Соответствующее полярное значение полярного радиуса:
.
2) Когда (линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения
.
Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображена отдельно на рис.7
3) Когда (линия 3; для неё ), улитка Паскаля - замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L, N отвечает значение . Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R, Q, которым отвечает значение . Угол ROQ , под которым отрезок RQ виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до ; этому значению соответствует . При дальнейшем увеличении угол ROQ убывает, стремясь к нулю при .
4) При точки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях
(линия 4; для нее ). Наиболее удаленным от оси точкам L, N отвечает значение
.