33.Означення похідних вищих порядків. Формули похідних вищих порядків для основних елементарних функцій.

Нехай на існує похідна, яка, в свою чергу, є диференційованою на.

Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто (f’(x)), називається похідною другого порядку або другою похідною функції f(x) і позначається ,,,.

Отже, або.

Якщо на (a,b) існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на (a,b), то похідна третього порядку функції f(x) на (a,b) це .

Аналогічно, похідна четвертого порядку і так далі. Похідна-го порядку функціїf(x) на (a,b)  

.

Означення 2. Функція, яка має похідну -го порядкуна (a,b) (-у похідну) називаєтьсяраз диференційовною на (a,b). Якщо ж -а похіднає ще й неперервною на (a,b), то функція y(x) називається раз неперервно диференційовною на (a,b).

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної -го порядку.

Знайти похідну -го порядку для наступних функцій.

1. ;;;; …;

або  .

Зокрема, якщо , то.

2. ;;

;

;

і т.д.

Отже, .

3. ;;

;

;

і т.д.

Отже, .

4. ;;

;

;

і т.д. Отже, .