42.Умова сталості та умова монотонності функції.

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

функція називаєтьсязроста́ючою на , якщо

.

функція називаєтьсястро́го зроста́ючою на , якщо

.

функція називаєтьсяспадною на , якщо

.

функція називаєтьсястро́го спадною на , якщо

.

45.Застосування похідних вищих порядків до дослідження на екстремуми. якщо в точці x0 існує не тільки 1 похідна, яка рівна 0, але й похідні вищих порядків, то керуємося правилами: 1. якщо перша із похідних яка перетв в 0 в точці x0 є похідною непарного порядку, ф-ція в точці x0 екстему немає 2. якщо парного порядку, то маємо максимум, якщо відємного – мінімум

46.  Найбільше та найменше значення функції Нехай дано функцію, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку необхідно:

1. знайти критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислити значення функції в цих точках;

2. м значення функції на кінцях відрізка, тобто;

3. серед усіх значень вибрати найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень . По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b). Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1.знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і b , тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.