48. Асимптоти графіка функції.

Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.

1Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення та виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x), коли x прямує до a, к (a +0) або до (a? 0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює +? (Або -?), То вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як себе веде функція при наближенні до асимптоти з різних сторін. 2Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1/(x?? 1). Підрахуйте межі lim (1/(x?? 1), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x = -1, так як ці межі дорівнюють +?. Нехай дана функція y = cos (1/x). У цієї функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1; +1] і її межа ніколи не дорівнюватиме ±? при будь-яких значеннях x.

3Знайдіть Тепер нахиліться асимптоти.

Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x)/x) і b = lim (f (x)? K? X) при x, що прагне до +? (Або -?). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k? X + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.

4Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2? X? (1/x). Підрахуйте межа lim (2? X? (1/x) при x, що прагне до 0. Ця межа дорівнює?. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2? X? (1/x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim (2? X? (1/x)/x) = lim (2? (1/x?) При x, що прагнуть до +?, Тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2? X? (1/x)? K? X) = lim (2? X? (1/x)? 2? X) = lim (-1/x) при x, прагнуть до +?, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2? X.

5Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (-x/3)? Sin (x) межа lim (x + e ^ (-x/3)? Sin (x) = 1 при x, що прагнуть до?, А lim (x + e ^ (-x/3)? sin (x)? x) = 0 при x, що прагнуть до?. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.