18. Точки розриву та їх класифікація.

Якщо границя функції f(x) в т х=а не існує або =00 або ця границя не рівна знач функції в цій точці то кажуть що функція f(x) в т х=а має розрив.Якщо границя існує то говорять про розрив типу стрибка.Якщо можна покласти f(а)=а і функція стане неперервною то кажуть про поправний розрив.Якщо границя функції в т х=а не існує або =00 то кажуть про розрив другого роду. Монотонно зростаюча(спадна) функція може мати розриви тільки першого роду.

21.Перша і друга теорема Больцано-Коші.

Якщо функція f(x)неперервна на замкненому відрізку [a;b] і на кінцях відрізка приймає різні по знаку значення f(а)* f(б)<0, тоді між а та б знайдеться т с така що f(с)=0 а<c<b. Друга теорема Больцано-Коші. Якщо функція f(x) визначена і неперервна на проміжку [a;b] і приймає різні значення f(а)=А f(б)=В то яке б не було число С, яке знаходиться А<С<В між А і В на проміжку [a;b] знайдеться т с а<c<b така що f(с)=с.

22. Існування оберненої функції.

Якщо кожному елементу з множини У ставиться у відповідність тільки один елемент з множини Х то кажуть що задана обернена функція.ґ=Нехай функція f(x) визначена і строго монотонно зростає та неперервна на деякому проміжку Х тоді на відповідному проміжку У з множини значень функції існує обернена функція яка також є монотонно зростаючою і неперервною.

25.Похідна оберненої функції. Похідні основних елементарних функцій.

Похідні основних елементарних функцій:

Похідна оберненої функції

Похідна елементарної функції є також елементарною функцією.

26.Формули для приросту функції. Зв’язок з диференційованістю і неперервністю функції.

f(б)- f(а)= f'(с) (б-а), хє(а,б) х+дельта х є(а,б), f(х+дельта х)!= f(х) звідси отримуємо формулу скінченних приростів. f(х+дельта х)- f(х)= f'(с)*дельта х. Якщо функція у = f(x) диференційована в деякій точці х0, то вона в цій точці неперервна. 3 цієї теореми випливае, що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означае, що в точках розриву функція немає похідної, тобто вона не диференційована.

29. Основні теореми диференціального числення(Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа, Коші).

Ферма. Нехай функція f(x) визначена і неперервна на даному проміжку (а,б) має похідну хоча би у відкритому проміжку. Якщо вона досягає свого найбільшого чи найменшого значення в якійсь точці х=с є(а,б) то похідна в цій точці =0 f'(с)=0.

Дарбу. Якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка.

Ролля Нехай функція f(x) визначена і неперервна на даному проміжку (а,б) має похідну хоча би у відкритому проміжку. На кінцях проміжку приймає однакові значення f(а)= f(b) тоді знайдеться т с яка є (а,б) що f'(с)=0. Лагранжа. Нехай функція f(x) визначена і неперервна на даному проміжку (а,б) має похідну хоча би у відкритому проміжку.На кінцях проміжку приймає не рівні значення f(а)=А ,f(б)=В А!=В тоді знайдеться внутрішня точка сє(а,б)така що має місце рівність (f(b)- f(а))/б-а= f'(с).

Коші. Нехай функція f(x) визначена і неперервна на даному проміжку (а,б) має похідну хоча би у відкритому проміжку при чому g’(x)!=0 хє (а,б) тоді знайдеться така точка с є (а,b) що (f(b)- f(а))/ (g(b)- g(а))= f'(с)/ g’(с). Доведення Лагранжа.Розглянемо на проміжку [a;b] наступну функцію:

Перевіримо, що для функції F[x] виконані всі умови теореми Ролля. І справді, F[x] неперервна на проміжку [a;b] та в усіх внутрішніх точках проміжка [a;b] має похідну:

З формули (1) очевидно, що

Згідно з теоремою Ролля на проміжку (а,б) знайдеться точка с така, що

З рівності (2) витікає формула Лагранжа.