30.Означення диференціала. Основні правила диференціювання.

Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а,b).

Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо

Змінна величина відрізняється від своєї границі на не­скінченно малу , тому

Функція диференційовна в точці х, тому вона неперервна в цій точці, але тоді при величинибудуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний:мають однаковий порядок малості, а величинає нескінченно малою вищого порядку малості. Отже, приперший доданок у правій частині рівності(8) є головною части­ною приросту функції. Він є лінійним відносно .

(Означення 3.3. Якщо функція має похіднув точці, то виразназиваєтьсядиференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом .) 

Означення. Головну лінійну частину приросту функції нази­вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції у = f (х) позначають dy або df(x). Таким чином,

тобто для знаходження диференціала функції у = f (х), що має похідну в точці х, треба помножити значення цієї похідної на приріст аргумента або наdx (=dx).

З рівності

(9)

одержимо, , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених значень функції.

Основні правила диференціювання.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю.

y = c, то y΄ = 0

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

 Теорема 3 Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

Теорема 4 Сталий множник виносимо за знак похідної

(cu)΄ = cu΄, де c = const

Теорема 5 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу

Зауваження: Похідна від функції,            де с = const:

Похідні від основних елементарних функцій.

Наприклад:

1.