1.Доповнення та різниця множин

Нехай задана деяка множина U (універсальна множина або універсум). Якщо A ⊂ U, то елементи множини U, які не належать А, називаються доповненням множини

А до множини U і позначають як CUA або UCA. Якщо A ⊂ U, B ⊂ U, то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B (саме в такому порядку) і позначають А \ B або А-B, тобто A \ B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Різниця множин A та B

Доповнення множини A до U

Примітка: Тут символ ∧ означає вимогу одночасної справедливості обох частин твердження (логічна зв'язка "І", кон'юнкція). Парний з ним символ ∨ означає вимогу справедливості щонайменш одного з двох тверджень (чи обох одночасно) (диз'юнкція, логічне АБО).

Приклади:

{1, 2} − {червоний, білий} = {1, 2}

{1, 2, зелений} − {червоний, білий, зелений} = {1, 2}

{1, 2} − {1, 2} = ∅

Якщо U - множина цілих чисел, то доповнення її підмножини A всіх парних чисел є підмножина В всіх непарних чисел.

Деякі властивості операції доповнення:

A ∪ A′ = U

A ∩ A′ = ∅

(A′)′ = A

A − B = A ∩ B′

Об'єднання множин

Об'єднанням множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин A, B:

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ A ∈ B}.

Приклади:

{1, 2} ∪ {червоний, білий} = {1, 2, червоний, білий}

{1, 2, зелений} ∪ {червоний, білий, зелений} = {1, 2, червоний, білий, зелений}

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості операції об'єднання:

A ∪ B = B ∪ A

A ⊆ A ∪ B

A ∪ A = A

A ∪ ∅ = A

Перетин множин

Перетином множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній із множин А, B:

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ A ∈ B}.

Кажуть, що множини не перетинаються, якщо A ∩ B = ∅

Приклади:

{1, 2} ∩ {червоний, білий} = ∅

{1, 2, зелений} ∩ {червоний, білий, зелений} = {зелений}

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості перетину:

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B ⊆ A

A ∩ A = A

A ∩ ∅ = ∅

Симетрична різниця множин

Симетрична різниця множин A та B є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Позначається як AΔB.

Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.

Деякі властивості симетричної різниці:

A Δ B = (A − B) ∪(B − A)

A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)

Потужність множини

Практично всі з розглянутих вище множин має визначену кількість елементів. Наприклад, множина А з розділу "Способи задання множин" має 4 елементи, множина B - три елементи. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина ℕ всіх натуральних чисел. Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинами А та B можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів збігається. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.

Декартів добуток множин

Декартів добуток (прямий декартів добуток) множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y.

Декартів добуток множин X та Y позначається як X × Y: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина {{x}, {x, y}}, яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).

Множена дійсних чисел-сукупність усіх раціональних та ірраціональних чисел.

Дійсні числа можна зображувати точками числової осію

Дійсні числа - це позитивні числа, негативні числа або нуль. Всі дійсні числа діляться на раціональні та ірраціональні. Перші - це числа, представлені у вигляді дробу. Другі - це дійсне число, що не є раціональним.