34 Диференціали вищих порядків

Нехай для функції y=f(x) існує диференціал першого порядку:

.

Означення 1. Диференціалом другого порядку функції f(x) називається диференціал від диференціала першого порядку і позначається, тобто.

Аналогічно, і т.д.

І взагалі, диференціалом -го порядку називається диференціал від диференціала-го порядку, тобто

.

За означенням

Отже, якщо - незалежна змінна, то. Аналогічно,.

З останньої формули маємо, що при довільному 

,

тобто похідну -го порядку функціїможна записати як відношення її диференціала-го порядку до-го степеня диференціалу аргумента.

Приклад. Знайти , якщо.

,

А тоді .

Ми вже показали, що диференціал першого порядку інваріантний відносно форми, а диференціали вищих порядків такої властивості не мають.

Формула Лейбніца. Якщо функції u=u(x), v=v(x) мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

.        

Порушення інваріантності

Теорема 1. Диференціали вищих порядків () не зберігають форму.

Доведення. Розглянемо випадок n=2. Нехай функції y=f(x) та x=(x) мають похідні до другого порядку включно. Тоді dy=f’(x)dx , де dx - диференціал, а не приріст (). Звідки

що й потрібно було довести.