Свойства:

1. Область определения функции: .

, т.к. значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа (почему?).

2. Множество значений функции:

Преобразуем квадратный трехчлен, задающий квадратичную функцию, выделив полный квадрат:

Введем обозначения: тогда .

Выражение может принимать любые неотрицательные значения в зависимости от x. Поэтому, при , а при

3. Периодичность:

Квадратичная функция не может быть периодической, т. к., например, свое значение она

принимает только в одной точке .

4. Чётность/нечётность

Если , то функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), т.к. , то есть и

Если , то функция имеет вид и , значит функция четная.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью : , корни этого уравнения существуют, если , в противном случае точек пересечения с осью абсцисс нет.

Если , то точка пересечения одна и имеет координаты

Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам: ,

Поэтому точек пересечения с осью две, и они имеют координаты и

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Если : , то выражение вида для всех . Значит, , .

: , тогда ,

: , где - корни уравнения .

Тогда при значения выражений, стоящих в скобках, будут иметь одинаковые знаки, значит, их произведение будет положительным, и при на данных промежутках квадратичная функция будет принимать положительные значения, а при - отрицательные.

Если , то наоборот, знаки выражений в скобках будут разными и, следовательно, из произведение будет отрицательным.

Тогда при на данном промежутке функция принимает отрицательные значения, а при - положительные.

7. Содержание

   • Элементарная математика
   • Часть1. (Алгебра и начала анализа)
   • 29. Решение уравнений вида 47
   • 30. Решение уравнений вида 47
   • 31. Решение уравнений вида 48
   • Основные определения
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Область определения функции
   • Множество значений функции:
   • Периодичность:
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
   • Свойства:
   • Интервалы возрастания/убывания
   • Наибольшее/наименьшее значение функции
   • График функции.
   • Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Область определения функции: .
   • Множество значений функции:
   • Периодичность:
   • Чётность/нечётность
   • Точки пересечения графика с осями координат.
   • Промежутки знакопостоянства функции:
   • Интервалы возрастания/убывания
   • Наибольшее/наименьшее значение функции.
   • График функции.
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Область определения функции: .
   • Множество значений функции:
   • Периодичность:
   • Чётность/нечётность
   • Точки пересечения графика с осями координат.
   • Промежутки знакопостоянства функции:
   • Интервалы возрастания/убывания
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Свойства функции и её график
   • Свойства:
   • Наибольшее/наименьшее значение функции.
   • График функции.
   • Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
   • Свойства степени с натуральным показателем
   • Свойства степени с действительным показателем
   • Свойства:
   • Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
   • Логарифмическая функция и ее свойства.
   • Свойства:
   • Наибольшее/наименьшее значение функции
   • Преобразование графиков функций
   • Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
   • Теорема Виета.
   • Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
   • Формулы сокращенного умножения.
   • Свойства числовых неравенств.
   • Свойства числовых равенств.
   • Метод интервалов
   • Формулы приведения.
   • Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
   • Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
   • Преобразование суммы (разности) в произведение
   • Преобразование произведения в сумму.
   • Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
   • Арксинус
   • Арккосинус
   • Арктангенс
   • Арккотангенс
   • Решение уравнений вида
   • Решение уравнений вида
   • Решение уравнений вида
   • Решение уравнений вида
   • Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
   • Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
   • Делимость на 2
   • Делимость на 3 на 9
   • Делимость на 5
   • Делимость на 10
   • Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
   • Свойства арифметического квадратного корня
   • Cвойства
   • Арифметическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
   • Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
   • Тригонометрическая окружность
   • Сборник формул
   • Библиографический список