Метод интервалов

О. Метод интервалов – метод решения рациональных неравенств.

Этот метод основан на следующей теореме математического анализа

(теореме Больцано-Коши), которую мы рассмотрим без доказательства:

Пусть функция на отрезке и на концах его принимает разные по знаку значения,

тогда в некоторой точке отрезка функции обращается в ноль.

То есть,

Пусть функция непрерывна на своей области определения, . Для применения метода интервалов нужно найти область определения функции, а затем решить уравнение и найти его корни. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, на каждом из которых функция сохраняет свой знак. На каждом таком интервале функция сохраняет знак именно по теореме Больцано-Коши, так как если предположить, что хотя бы в одной точке внутри одного из таких интервалов функция меняет свой знак, то значит, что существует еще одна точка, в которой функция обращается в ноль. Но все нули функции - корни уравнения , которые являются концами интервалов и никаких других нулей у функции быть не может.

Знак функции на каждом таком интервале можно определить по одной точке, а для рациональной функции можно использовать чередование знаков с учетом степени сомножителей. Если степень сомножителя четная, то при переходе через точку знак функции не меняется, если степень сомножителя нечетная, то при переходе через точку знак функции меняется.

Приведем алгоритм применения метода интервалов:

1. Приведем неравенство к виду . Для этого переносим все члены в левую часть.

2. Приводим все члены в левой части к общему знаменателю.

3. Числитель и знаменатель полученной дроби раскладываем на сомножители. Сомножители должны быть либо линейные (т. е. вида ), либо квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней, т. е. не раскладывающиеся на линейные сомножители. Если в числителе и в знаменателе есть общие сомножители, то сокращать их пока не будем.

4. Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой. Нули знаменателя отмечаем всегда «выколотыми» точками, а нули числителя «выколотыми» точками, если неравенство строгое, и «закрашенными», если неравенство нестрогое. После этого общие сомножители в числителе и в знаменателе нужно сократить.

5. Полученные точки разбивают числовую прямую на промежутки, на которых левая часть сохраняет свой знак (По теореме Больцано-Коши). Нам нужно только определить знак на каждом промежутке.

Первый способ: нужно взять по одной точке из каждого промежутка (обязательно внутри, а не на конце) и вычислить в этих точках значения левой части.

Второй способ: заметим, что сомножитель в нечетной степени меняет знак «при переходе через точку », а сомножитель четной степени не меняет знака. Можно определить знак на самом правом промежутке, а затем расставить знаки, учитывая переходы через все нули. Остается только выбрать промежутки с нужным знаком.

Пример.

Р ешить неравенство

Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой, вычислим знак левой части на каждом из получившихся промежутков.

Выберем те промежутки, на которых функция имеет нужный знак.

Ответ: