Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она возрастает на и убывает на .

Доказательство:

Докажем, например, возрастание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок .

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что _.

Рассмотрим разность значений синусов этих углов: .

Заметим, что правая часть полученного равенства отрицательна. Действительно, т.к. числа расположены на отрезке и , то , поэтому ; аналогично , поэтому . Тем самым доказано, что из неравенства следует неравенство , т.е. функция возрастает на , а значит, возрастает на каждом из промежутков вида .

Докажем убывание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок .

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что _.

Рассмотрим разность значений синусов этих углов:

.

Заметим, что правая часть полученного равенства положительна. Действительно, т.к. числа расположены на отрезке и , то , поэтому ; аналогично , значит . Т.о. , т.е. функция убывает на , а значит, убывает на каждом из промежутков вида .