Elem_matematika_okonch_variant_2012_pravka

Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция тангенс возрастает на интервале и принимает все значения из . Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, в интервале существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctg a.

О. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала, , тангенс которого равен а.

При любом а на интервале имеется ровно одно число х, такое, что tg x=a, - это .

Поэтому уравнение tg x=a имеет на интервале длиной  единственный корень. Функция тангенс имеет период . Следовательно, все остальные корни уравнения отличаются от найденного на n ( ), т.е. .

Р ешение уравнения tg x=а удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов (см. рис.15). Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а - это точка . Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью в двух точках; при этом интервалу соответствует точка правой полуокружности, такая, что .

Содержание