Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

О. Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.

О. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии q геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия задаётся своим первым членом и знаменателем. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство .

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , где - член прогрессии с номером n, - первый член и q – её знаменатель.

Возьмём произвольное натуральное n. Из определения геометрической прогрессии следует .

Эта цепочка состоит из n равенств, поэтому для любого конечного n она может быть выписана. Следовательно, любой член геометрической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и её знаменатель.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами.

Если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то все её члены, начиная со второго, являются средним геометрическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения геометрической прогрессии следует, что .

Выразив из этого равенства , получим .

Так как все члены прогрессии положительны, то последнее равенство равносильно следующему .

Теорема. (формула суммы n первых членов геометрической прогрессии).

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна ,при .

Доказательство.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

.

Домножим обе части этого равенства на знаменатель геометрической прогрессии .

Следовательно, . Вычтем полученное равенство из . Получим: .

Отсюда следует, что . При это равенство равносильно доказываемому. Теорема доказана.

Следствие. , при .

Доказательство.

Выразим по формуле n-го члена геометрической прогрессии и подставим в формулу (1).

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменатель q по абсолютной величине меньше единицы .

О. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма n первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при неограниченном увеличении n.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .

Приложение