2.2. Трансформация параллельного переноса движением

Если прямые u и v параллельны, то отображение g отображает их на параллельные прямые g(u) и g(v) с сохранением расстояния между ними. Следовательно, если , то

. (4)

В частности, если g есть поворот , то по свойству поворота ориентированный угол между векторами и равен углу б поворота. Отсюда из равенства следует, что результат поворота вектора не зависит от центра поворота.

Теорема. Для любого вектора , любого действительного числа х и перемещения g имеет место равенство:

. (5)

Доказательство. Если , то в силу (4) . Так как движение g сохраняет величину угла между векторами, а значит, и сохраняет, в частности, их сонаправленность или противонаправленность, то из или вытекает соответственно или . Отсюда и из равенства следует (5).

Доказанная зависимость (5) с помощью первой формулы (2) обобщается на такую:

. (6)

Действительно, .

Ясно, что зависимость вида (6) будет справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. [1]