3. Трансформация гомотетии движением

Рассмотрим . Пусть g(О)=А. Тогда по свойству неподвижных точек и двойных прямых, А - неподвижная точка преобразования , также мы имеем пучок неподвижных прямых в т. А, поэтому данное преобразование не может быть поворотной гомотетией или гомотетической симметрией. Следовательно, . Найдем коэффициент с, для этого рассмотрим точку М₁, пусть |М₁,A| = d.

Пусть g(М1) = М, мы знаем, что g(О)=А тогда по свойствам движения |МО| = d.

Пусть , по определению гомотетии |М₂О| = kd.

Пусть g(М₂) = М₃, по свойствам движения |М₃А| = kd. А т.к. при гомотетии все расстояния изменяются в одно и то же число раз, то с = k. Следовательно,

. (21)