13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией

Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g^-1 заданы аналитически.

g: g^-1: где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O(d₁, d₂, d₃), (a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃), (c₁, c₂, c₃), а при преобразовании g^-1 O(n₁, n₂, n₃), (k₁, k₂, k₃), (l₁, l₂, l₃), (m₁, m₂, m₃).

Известно, что движение является частным случаем аффинного преобразования, значит, движение под аффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будет аффинным преобразованием.

13.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования гомотетией

Выберем систему координат таким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда будет задаваться аналитически следующим образом.

Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . При гомотетии точка М переходит в точку М₁(x/k, y/k, z/k). Далее, при аффинном преобразовании g М₁ переходит в точку М₂(, , ). M₂ при гомотетии переходит в М₃(, , ). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(34)

Мы получили, что

(35)

где - параллельный перенос, .