1. Понятие трансформации преобразований

Если f и g - преобразования некоторого множества, например, множества всех точек плоскости, и f(A)=B, g(A)=A₁, g(B)=B₁, то точке А₁ поставим в соответствие точку В₁. Вообще, каждую пару (А, f(A)) отобразим преобразованием g. Множество всех полученных при этом новых пар (А₁, g(f(A))) есть новое преобразование плоскости, являющееся композицией (рис.1), поскольку эта композиция отображает А₁ на В₁. Условимся обозначать и говорить, что преобразование f ^g получается из f под действием преобразования g. Запись f ^g кратко будем читать «эф под же».

Итак, по определению

, (1)

в частности, и E ^f = E.

Имеют место следующие формулы:

,

, (2)

(f ^g)^-1 = (f ^-1)^g.

Действительно, . Поскольку , то, вставляя между g и f и используя ассоциативное свойство всякой композиции преобразований, получаем . Далее . Учитывая, что преобразование, обратное композиции данных преобразований, является композицией обратных им преобразований, взятых в обратном порядке, т.е. , получаем . Наконец, .

Если преобразование f инволютивно, то и то и f ^g также инволютивно. В самом деле, если , но f ? Е, то , но f ^g ? Е, так как из f ^g = Е следует f = Е.

Теорема о неподвижной точке. Если А - неподвижная точка преобразования f, то g(A) - неподвижная точка преобразования f ^g, и обратно:

f(A) = A - f ^g(g(A)) = g(A).

Доказательство. Если f(A) = A, то f ^g(g(A)) = g(f(g^-1(g(A)))) = =g(f(A)) = g(A). Обратно, если f ^g(g(A)) = g(A), т.е. g(f(g^-1(g(A)))) = g(A), то g(f(A)) = g(A). Поскольку при преобразовании образы любых двух различных точек не совпадают, то из совпадения образов точек f(A) и A при преобразовании g следует и совпадение этих точек: f(A) = A. [1]

Аналогичная теорема имеет место и для двойных прямых.