13.2. Трансформация косого сжатия гомотетией

Рассмотрим гомотетию и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия гомотетией - , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 7).

Точка А при гомотетии перейдет в точку А₁, которая при косом сжатии перейдет в точку А₂ такую, что А₁А₂ || l, . Точка А₂ при гомотетии перейдет в точку А₃. Заметим, что прямая - инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А₁ и А₂ проведем перпендикуляры на прямую q - А₁В₁ и А₂В₂, а из точек А и А₃ - на прямую q₁ - АВ и А₃В₃. Тогда АВ и А₃В₃ - образы отрезков А₁В₁ и А₂В₂ при гомотетии , значит, , следовательно,. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q₁ изменилось в m раз:. Причем из того, что А₁А₂ || l, следует, что AA₃ || l, потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, значит, точка А сместилась в направлении l. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью , направлением l и коэффициентом m.