Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах. Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую...
Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z образа данной точки M(z) через координату z этой точки М...
...
...
Применим теперь рассмотренные формулы и свойства к движениям. Если f и g - движения, то, в силу (1), f g - тоже движение. Более того, так как неподвижные точки движения f переходят в неподвижные точки движения f g...
Далее, если u?v = O, то g(u)?g(v) = g(O) и (g(u), g(v)) = (u, v), если g - движение 1-го рода, и (g(u), g(v)) = -(u, v), если g - движение 2-го рода. Поэтому, если , то (7) где знак «+» берется при движении g 1-го рода и «-» - при движении g второго рода. [1] В частности...
Рассмотрим . Пусть g(О)=А. Тогда по свойству неподвижных точек и двойных прямых, А - неподвижная точка преобразования , также мы имеем пучок неподвижных прямых в т. А...
Рассмотрим . По теореме о неподвижных точках, неподвижными точками преобразования являются образы неподвижных точек движения f. Докажем, что это - движение. . Рассмотрим точки А и L, |AL| = d...
Пусть подобие - это композиция движения f и гомотетии , тогда подобие под движением g по формулам (2) есть . fg = f1 - движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки - образы неподвижных точек движения f при движении g, а по формуле (21) . Тогда...
Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g-1 заданы аналитически. g: g-1: где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O(d1, d2, d3), (a1, a2, a3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3), а при преобразовании g-1 O(n1, n2, n3), (k1, k2, k3)...
...
Данную трансформацию рассмотрим в пространстве. Пусть параллельный перенос задан вектором , (a, b, c). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . При параллельном переносе точка М переходит в точку М1(x-a, y-b, z-c)...
Сдвигом называется аффинное преобразование плоскости, при котором произвольная точка А смещается параллельно фиксированной прямой q на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q (рис. 11). - коэффициент сдвига...
...
...