14.3. Трансформация сдвига движением

Сдвигом называется аффинное преобразование плоскости, при котором произвольная точка А смещается параллельно фиксированной прямой q на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q (рис. 11). - коэффициент сдвига. [3]

Рассмотрим произвольное движение f и сдвиг g с осью q и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация сдвига произвольным движением - , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 12).

Точка А при произвольном движении f ^-1 перейдет в точку А₁, которая при сдвиге перейдет в точку А₂ такую, что А₁А₂ ||q, . Точка А₂ при движении f перейдет в точку А₃. Заметим, что прямая q₁ = = f(q) - инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых); АА₃ - образ отрезка А₁А₂ при движении f, значит, АА₃ = А₁А₂, d(A₁, q) = d(A, q₁) и АА₃ ||q, тогда . Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью f(q) и коэффициентом k.