13.3. Трансформация сдвига гомотетией

Рассмотрим гомотетию и сдвиг g с осью q и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация сдвига гомотетией - , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 8).

Точка А при гомотетии перейдет в точку А₁, которая при сдвиге перейдет в точку А₂ такую, что А₁А₂ || q, . Точка А₂ при гомотетии перейдет в точку А₃. Заметим, что прямая - инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точки А₁ проведем перпендикуляр на прямую q А₁В₁, а из точки А - на прямую q₁ - АВ. Тогда АВ - образ отрезка А₁В₁ при гомотетии , также АА₃ - образ отрезка А₁А₂ при гомотетии , значит, и АА₃||А₁А₂||q||q₁, (потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую), следовательно, и АА₃||q₁. Мы получили, что при этой трансформации точка А смещается параллельно прямой q₁ на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q₁: . Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью и коэффициентом m.