16.1. Трансформация косого сжатия произвольным аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольное аффинное преобразование и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия g произвольным аффинным преобразованием f - , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 13).

Точка А при аффинном преобразовании f ^-1 перейдет в точку А₁, которая при косом сжатии g перейдет в точку А₂ такую, что А₁А₂ ||l, . Далее точка А₂ при аффинном преобразовании f перейдет в точку А₃. Заметим, что прямая q₁ = f(q) - инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А₁ и А₂ проведем перпендикуляры на прямую q - А₁В₁ и А₂В₂, а из точек А и А₃ - на прямую q₁ - АВ и А₃В₃. Пусть АС и А₃С₃ - образы отрезков А₁В₁ и А₂В₂ при аффинном преобразовании f, значит, А₁В₁||А₂В₂ и (т.к. при косом сжатии сохраняется параллельность прямых и отношение параллельных отрезков), тогда (соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, прямоугольные треугольники АВС и А₃В₃С₃ подобны, исходя из этого . Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q₁ изменилось в k раз: . Причем из того, что А₁А₂ || l, следует, что AA₃||f(l), потому что при косом сжатии сохраняется параллельность прямых, значит, точка А сместилась в направлении f(l). Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью f(q), направлением f(l) и коэффициентом k.