17. Решение задач с помощью трансформации преобразований

Задача 1. Даны правильные одинаково ориентированные треугольники OAB, OCD, OEF. Доказать, что середины M, N, P соответственно отрезков BC, DE, AF являются вершинами правильного треугольника. [1]

Решение. Из четырехугольника BEDC находим: (рис. 14). Помня, что результат поворота вектора не зависит от центра поворота, выполним поворот этих векторов на -60°: , , . На основании (6) образом вектора будет вектор . Отсюда и следует, что треугольник MNP правильный.

Задача 2. Найти все перемещения плоскости, перестановочные с осевой симметрией S_l. [«Математика в школе», 1977, №1, задача 1802]

Решение. Из определения (1) следует, что . Если f = S_l, то на основании зависимости (3) имеем: . Задача требует найти такие перемещения g, чтобы . А для этого необходимо и достаточно того, чтобы S_l = S_g(l), откуда l = g(l). Перемещениями, отображающими прямую l на себя, являются: осевая симметрия с осью l, осевые симметрии, оси которых перпендикулярны прямой l, центральные симметрии с центрами на l, переносы параллельно l, переносные симметрии с осью l, тождественные перемещения и только эти преобразования.

Задача 3. Определить взаимное расположение центров A, B, C и зависимость между коэффициентами k, l, m гомотетий A_k, B_l, C_m, если