14.2. Трансформация косого сжатия движением

Косое сжатие - частный случай родства, при котором каждая точка А плоскости смещается в некотором фиксированном направлении так, что ее расстояние от некоторой фиксированной прямой q изменяется в k раз: (рис. 9). [3]

Рассмотрим произвольное движение f и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия произвольным движением - , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 10).

Точка А при произвольном движении f ^-1 перейдет в точку А₁, которая при косом сжатии перейдет в точку А₂ такую, что А₁А₂ || l, . Точка А₂ при движении f перейдет в точку А₃. Заметим, что прямая q₁ = f(q) - инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А₁ и А₂ проведем перпендикуляры на прямую q - А₁В₁ и А₂В₂, а из точек А и А₃ - на прямую q₁ - АВ и А₃В₃. Тогда АВ и А₃В₃ - образы отрезков А₁В₁ и А₂В₂ при движении f, значит, АВ = А₁В₁ и А₃В₃ = А₂В₂ , следовательно, . Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q₁ изменилось в k раз:. Причем из того, что А₁А₂ || l, следует, что AA₃ || f(l), потому что при движении сохраняется параллельность прямых, значит, точка А сместилась в направлении f(l). Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью f(q), направлением f(l) и коэффициентом k.