4. Трансформация гомотетии гомотетией

Найдем сначала композицию двух гомотетий , для этого рассмотрим вектор . По свойству гомотетии, , а .

Рассмотрим первый случай, когда lk = 1, тогда мы получили преобразование, при котором вектор перешел сам в себя, а это параллельный перенос . Найдем вектор , для этого найдем образ точки О при этой композиции. , а : . Тогда . Значит, композиция двух гомотетий при lk = 1 есть параллельный перенос на вектор .

. (22)

Рассмотрим второй случай, когда lk ? 1. Найдем неподвижные точки этого преобразования. Пусть точка М - неподвижная, тогда если , а , то М = D, значит, . Но . Т.к. и , то . Тогда . Т.к. lk ? 1, то выразим вектор : . Значит, у данного преобразования только одна неподвижная точка М, причем , следовательно, точки O, Q, M лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что данное преобразование будет гомотетией с центром в т. М и коэффициентом lk. Возьмем произвольную точку Е, пусть , а . Докажем, что (рис. 2). Разложим векторы и по векторам и . По правилу треугольника, , а . Ранее мы выразили вектор через вектор : , тогда вектор выражается через вектор следующим образом: . Вектор при гомотетии переходит в вектор , тогда . Значит, . Теперь приведем подобные слагаемые и разложим вектор по векторам и , после этого получим . Вектор при гомотетии переходит в вектор , значит, , а вектор вновь выразим через , тогда . Приведем подобные слагаемые, получим

. По правилу треугольника , следовательно . Таким образом, мы показали, что преобразование произвольную точку E переводит в точку G такую, что , следовательно, это преобразование - гомотетия с центром в точке М и коэффициентом lk.

. (23)

Сейчас найдем преобразование . , а это по формуле (23) равняется , . Далее применяя формулу (23), получаем , . Выразим вектор через вектор . По правилу треугольника, . Мы уже знаем, что , тогда . Приведем подобные слагаемые, получим . Так как , то . Значит, . Таким образом,

^. (24)