11. Трансформация движения аффинным преобразованием

11.1. Трансформация параллельного переноса аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 3), которая при параллельном переносе прейдет в точку М₂, , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что вектор при преобразовании g перейдет в вектор , значит, вся трансформация есть параллельный перенос на вектор .

, (31)

где .

11.2. Трансформация центральной симметрии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 4), которая при центральной симметрии Z_O прейдет в точку М₂, О - середина М₁М₂, далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ₃ (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке g(O) будет неподвижной точкой нового преобразования, значит, вся трансформация есть центральная симметрия Z_g(O).

. (32)

11.2. Трансформация осевой симметрии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 5), которая при осевой симметрии S_l прейдет в точку М₂, , О - середина М₁М₂, далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ₃ (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), и ее образ - О₁ - будет лежать на образе прямой l при преобразовании g - g(l). По теореме о неподвижных прямых, прямая g(l) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметим также, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами, были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклонены под одним и тем же углом к прямой g(l), значит, вся трансформация есть косая симметрия S_g(l).

. (33)