12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 6), которая при гомотетии прейдет в точку М₂, , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в точку О₁ на прямой ММ₃, причем (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О₁ будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация есть гомотетия .

. (35)