14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом

Данную трансформацию рассмотрим в пространстве. Пусть параллельный перенос задан вектором , (a, b, c). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . При параллельном переносе точка М переходит в точку М₁(x-a, y-b, z-c). Далее, при аффинном преобразовании g точка М₁ переходит в точку М₂(a₁x + b₁y + + c₁z - aa₁ - bb₁ - cc₁ + d₁, a₂x + b₂y + c₂z - aa₂ - bb₂ - cc₂ + + d₂, a₃x + b₃y + c₃z - aa₃ - bb₃ - cc₃ + d₃). M₂ при параллельном переносе переходит в М₃ (a₁x + b₁y + c₁z - aa₁ - bb₁ - cc₁ + d₁ + a, a₂x + b₂y + c₂z - aa₂ - bb₂ - cc₂ + d₂ + + b, a₃x + b₃y + c₃z - aa₃ - bb₃ - cc₃ + d₃ + c) (п. 13). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(36)

Мы получили, что

, (37)

где (- aa₁ - bb₁ - cc₁ + d₁ + a, - aa₂ - bb₂ - cc₂ + d₂ + b, - aa₃ - bb₃ - cc₃ + d₃ + c).

14.1.2. Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией

Рассмотрим центральную симметрию Z_O в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы центр симметрии О совпал с началом координат, тогда О(0, 0, 0). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. центральная симметрия инволютивна, то . При центральной симметрии Z_O точка М переходит в точку М₁(-x, -y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М₁ переходит в точку М₂(-a₁x - b₁y - c₁z + d₁, -a₂x - b₂y - c₂z + d₂, -a₃x - b₃y - c₃z + d₃) (п. 13). M₂ при центральной симметрии Z_O переходит в М₃(a₁x + b₁y + c₁z - d₁, a₂x + b₂y + c₂z - d₂, a₃x + b₃y + c₃z - d₃). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(38)

Мы получили, что

, (39)

где (-2d₁, -2d₂, -2d₃).

14.1.3. Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией

Рассмотрим осевую симметрию S_l в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы ось симметрии l совпала с осью OZ, тогда S_l будет задаваться следующим образом. Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. осевая симметрия инволютивна, то . При осевой симметрии S_l точка М переходит в точку М₁(-x, -y, z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М₁ переходит в точку М₂(-a₁x - b₁y + c₁z + d₁, -a₂x - b₂y + c₂z + d₂, -a₃x - b₃y + c₃z + d₃) (п. 13). M₂ при осевой симметрии S_l переходит в М₃(a₁x + b₁y - c₁z - d₁, a₂x + b₂y - c₂z - d₂, a₃x + b₃y - c₃z - d₃). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(40)

14.1.4. Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией

Рассмотрим зеркальную симметрию S_б - преобразование постраноства, выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость симметрии б совпала с плоскостью XOY, тогда S_б будет задаваться следующим образом. Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. зеркальная симметрия инволютивна, то . При зеркальной симметрии S_б точка М переходит в точку М₁(x, y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М₁ переходит в точку М₂(a₁x + b₁y - c₁z + d₁, a₂x + b₂y - c₂z + d₂, a₃x + b₃y - c₃z + d₃) (п. 13). M₂ при зеркальной симметрии S_б переходит в М₃(a₁x + b₁y - c₁z + d₁, a₂x + b₂y - c₂z + d₂, -a₃x - b₃y + c₃z - d₃). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(41)